Obiettivo

l'obiettivo di questo modulo è introdurre e spiegare la tecnica dell'Analisi delle Componenti Principali.

Alla fine di questo modulo sarai in grado di:

Conoscere la logica dell’ACP;

Conoscere i requisiti;

Condurre un ACP.

Definizione

L’ACP nella vita reale

Analisi delle Variabili

Affinché sia sensato condurre l’analisi delle componenti principali, è importante analizzare le variabili da utilizzare per avere chiare alcune loro caratteristiche. Nello specifico le variabili devono avere i seguenti requisiti

Le variabili devono essere di tipo Quantitativo

L’ACP è valida solo quando le variabili su cui si opera sono di tipo numerico.   Se i caratteri hanno diverse unità di misura, bisogna standardizzare le variabili prima di procedere. Tuttavia, in alcuni casi è utilizzata anche per variabili su “scala Likert” e per “variabili binarie”. Seppur a livello numerico i risultati siano molto simili tra loro, in questi casi sarebbe preferibile utilizzare metodi alternativi.

- Deve esserci una Correlazione lineare tra le variabili

La prima operazione da fare quando si effettua un’ACP è calcolare la matrice di varianza/covarianza o la matrice di correlazione di Pearson

l’ACP, infatti, è una tecnica utilizzabile quando sono rispettate le ipotesi dell’indice di correlazione lineare di Pearson

- Assenza di outliers

Come per tutte le analisi basate sulla varianza, singoli valori anomali possono influenzare i risultati soprattutto se molto estremi e se la numerosità campionaria è bassa. A tal fine è utile realizzare dei boxplot oppure grafici a dispersione, detti scatterplot, dai quali è possibile dedurre relazioni lineari tra coppie di variabili.

Numerosità del campione abbastanza elevata

Non vi è un valore soglia univoco, ma in generale è consigliabile avere almeno 5-10 unità statistiche per ogni variabile che vuoi includere nell’ACP.   Se ad esempio vuoi provare a riassumere con delle nuove componenti 10 variabili, sarebbe consigliabile avere un campione composto da almeno 150 osservazioni.

- Adeguatezza del campione

Per verificare l’adeguatezza del campione  si possono svolgere alcuni test come:

Il test Kaiser-Meyer-Olkin, (KMO), che stabilisce se effettivamente le variabili considerate sono coerenti per l’utilizzo di un’analisi delle componenti principali. Questo indice può assumere valori compresi tra 0 e 1 e, affinché abbia senso effettuare un’analisi delle componenti principali, deve avere un valore almeno superiore a 0,5.

Test di sfericità di Bartlett: è un test d’ipotesi che ha come ipotesi nulla quella che la matrice di correlazione coincida con la matrice identità. Se così fosse, non avrebbe senso performare una ACP in quanto significherebbe che le variabili non sono per nulla correlate linearmente tra di loro.

Per comprendere meglio questo concetto, immagina che il tuo dataset sia una città a te sconosciuta!   Ogni componente principale è una strada di questa città. Se tu volessi conoscere questa città, quante strade visiteresti? Probabilmente partiresti dalla via centrale (la prima componente principale) e poi ti addentreresti in altre vie.   Ma in quante?

 

Per poter dire di conoscere a sufficienza una città, ovviamente il numero di vie da visitare cambia a seconda delle dimensioni della città e di quante le vie sono simili o diverse tra loro.

Allo stesso modo, il numero di componenti da estrarre dipende da quante variabili hai scelto di includere all’interno dell’analisi delle componenti principali e da quanto queste sono simili tra loro.

Più sono correlate infatti, minore sarà il numero di componenti principali necessario per ottenere una buona conoscenza delle variabili di partenza. Al contrario, meno sono correlate, maggiore sarà il numero di componenti principali da estrarre per poter avere un’informazione accurata del dataset.

 

- Autovalori Maggiori di 1

Secondo questa regola, si scelgono quelle componenti a cui è associato un autovalore superiore a 1.   L’autovalore è un numero che fornisce la varianza spiegata dalla componente: siccome inizialmente la varianza spiegata da ogni singola variabile è pari a 1, non avrebbe senso prendere una componente (che è una combinazione di variabili) con varianza inferiore a 1.

- Proporzione di Varianza Spiegata complessiva

Seguendo questo criterio, le componenti da estrarre devono garantire che almeno il 70% della variabilità complessiva delle variabili di partenza non venga persa.

Inoltre, ogni singola componente da estrarre dovrebbe apportare un incremento di rilievo alla varianza complessiva (ad esempio, almeno un 5% o un 10% in più di variabilità spiegata).

- Scree Plot

Questo metodo, si basa su un grafico in cui sull’asse verticale sono riportati i valori degli autovalori e sull’asse orizzontale tutte le possibili componenti da estrarre (che saranno quindi in numero pari alle variabili di partenza). Unendo i punti si otterrà una linea spezzata che in alcune parti avrà una forma concava ed in altri convessa.

Come è possibile vedere dal grafico sull’asse x sono elencate le componenti, mentre sull’asse y ci sono gli autovalori.   Quando la curva di questo grafico fa un “gomito” è il momento per tracciare una linea, e prendere in considerazione solo i fattori che stanno sopra.   Dal grafico che puoi vedere qui, ad esempio, si vede che il numero di punti che si trovano sopra al gomito è 2.

- Nominarle

La parte conclusiva dell’ACP consiste nel dare un nome alle singole componenti principali trovate.

Consideriamo un caso di studio. Supponiamo di avere la seguente rilevazione di performance aziendale su 10 famose aziende.

•ECON.PRO -> economic profit, differenziale tra rendimento del capitale investito ed il suo costo •CASH -> cash flow sul fatturato in % •LAVOR.VA -> costo del lavoro sul valore aggiunto, in% •ROE -> return on equity, utile •netto sul patrimonio, in% •INDE.CAP -> indebitamento sul capitale proprio •FATTURATO

Dal momento che i dati sono espressi in unità di misura molto diverse, passiamo alla matrice dei dati standardizzata

Come già detto l'osservazione della matrice di correlazione è una fase importante: se tutte le variabili fossero non correlate tra di loro non avrebbe senso procedere con l’ACP, infatti si avrebbero tante componenti quante variabili osservate. Se invece alcune sono molto correlate se ne deve prendere una sola.

Dalla tabella si evince come il ROE sia correlato positivamente col Cash Flow e la variabile economic profit, tuttavia le consideriamo nell’analisi.

Per comprendere il ruolo giocato da ogni variabile nella costruzione dei fattori, e quindi per avere materiale su cui riflettere per comprendere il significato degli assi, si può analizzare la comunalità, che ci dice quanto ciascuna variabile è correlata con l’asse. Si può notare che le variabili maggiormente correlate tra loro sono quelle che determinano il primo asse. Tale asse è il più importante perché è quello che riassume la massima variabilità. E la quantità di variabilità spiegata è influenzabile dalla correlazione tra le variabili originarie. Le variabili correlate con il primo asse suggeriscono di interpretare lo stesso come una sintesi di redditività (C1): a destra vi è una redditività alta, a sinistra una redditività bassa. Il secondo asse discrimina sull’indebitamento (C2): in alto si posizioneranno le aziende ad alto tasso di indebitamento, in basso quelle che sono meno indebitate

Come è possibile vedere dal Grafico nella slide successiva:

L’interpretazione: Alcune di esse si posizionano in zone diametralmente opposte:

● in basso a destra c’è la Ferrero che risulta essere l’azienda più sana, poiché ha un indebitamento negativo, quindi fa fronte agli impegni finanziari col capitale proprio, e una discreta redditività

● nel quadrante in alto a destra, si distingue la Plasmon che se pur fortemente indebitata ha un’altissima redditività.

● nel quadrante in basso a sinistra sono presenti quelle aziende che operano in mercati saturi in cui sono leader; inoltre, trovandosi vicino all’origine degli assi, mostrano di aver sotto controllo la situazione finanziaria, ed avendo un indebitamento negativo hanno a disposizione riserve di capitali pronte per essere utilizzate per far fronte alle esigenze del mercato o per intraprendere azioni di penetrazioni in business ad alta redditività

● Infine, in alto a sinistra, troviamo la Parmalat: questa mostra di avere la situazione peggiore. Ha un forte indebitamento e una redditività negativa, quindi, tale impresa deve necessariamente ripensare al suo sistema di business per evitare il rischio di insolvenza