En el análisis estadístico una población constituye una base de datos de la que queremos extraer algunas conclusiones. Una encuesta es un procedimiento gracias al cual obtenemos datos para ser analizados. Las encuestas pueden basarse en toda la población (basadas en el censo o en la población) o basarse en un subconjunto representativo de esta población que debemos seleccionar. Este subconjunto se define como una "muestra" si su estructura refleja la misma estructura que la de la población. Los datos recopilados de las encuestas realizadas sobre una muestra se denominan datos “basados en muestras” o muestrales.

¿Por qué trabajar con bases de datos que proceden de una muestra en lugar de analizar al total de la población (encuestas basadas en censos)? Las encuestas basadas en censos son necesarias en conteos o en investigaciones de character exhaustive, pero requieren una cantidad ingente de recursos y esto se traduce en altos costes. Por el contrario, las encuestas basadas en una muestra son idóneas si la población es homogénea ya que en ese caso constituirán una buena representación de la población. Además, son la única opción cuando la población es infinita y se encuentra en procesos destructivos de información. En cualquier caso, las muestras ahorran tiempo y otros costes.

En términos prácticos, normalmente no contamos con los recursos para realizar estudios censales (poblacionales), por lo que la alternativa es basar nuestros análisis en muestras. Basar nuestras conclusiones en datos muestrales implica que habrá un margen inherente de error que va a depender de varios factores.

El margen de error dependerá, básicamente, de tres factores:

1. La homogeneidad de los datos en la población: cuanto más heterogéneos -resto constante- ,  mayor es el margen de error.

2. El tamaño de la muestra: cuanto menor sea el tamaño de la muestra – resto constante-,  mayor será el margen de error.

3. La técnica de muestreo: que elegiremos en función de las características de los datos.

No podemos hacer mucho sobre (a), pero sí que podemos actuar sobre los factores (b) y (c). En cuanto al factor (c) y la elección de la técnica de muestreo aplicada, es importante señalar que existe una gran variedad de técnicas de muestreo disponibles que podríamos aplicar. El siguiente diagrama muestra visualmente esta variedad:

Sólo podemos controlar el margen de error de nuestras conclusiones si trabajamos con muestras aleatorias y las técnicas de muestreo aleatorio más frecuentes son el muestreo aleatorio simple y el muestreo aleatorio estratificado.

El muestreo aleatorio simple es la técnica de muestreo más elemental que se basa en la selección aleatoria de los individuos o unidades encuestadas. A partir de una lista de las unidades de la población, consiste en seleccionar aleatoriamente n de estas unidades. Pero incluso dentro de esta técnica simple se pueden decidir algunos detalles sobre el proceso de selección aleatoria. Por ejemplo, podemos decidir si el muestreo se va a realizar con o sin reposición. Si el muestreo se realiza con reposicion, esto significa que cada unidad seleccionada aleatoriamente para formar parte de la muestra vuelve a formar parte de la población después de cada sorteo de selección aleatoria. Esto obviamente implica que una unidad puede ser muestreada más de una vez, pero garantiza que las condiciones en las que se realiza cada sorteo de selección sean iguales y constantes, y que los resultados de cada uno de ellos sean independientes entre sí.

Por el contrario, si se realiza un muestreo aleatorio simple sin reposición, cada unidad se muestrea una sola vez, pero no podemos garantizar que las condiciones sean constantes a lo largo de los sorteos de selección. El muestreo con y sin reemplazo o reposición puede producir resultados significativamente diferentes para poblaciones pequeñas, y son equivalentes solo si el tamaño de la población (N) es muy grande.

En muchas ocasiones, las observaciones se agrupan naturalmente en función de características que comparten. Por ejemplo, los datos sobre la distribución de los salarios se agrupan según el sector económico de los trabajadores, su género o su región de residencia. Los estratos se definen como partes de la población de interés que presentan una alta homogeneidad interna, aun cuando existe una gran variabilidad entre estratos. El muestreo estratificado aprovecha esta agrupación de las observaciones y selecciona aleatoriamente un número de unidades en cada estrato L ( nL ), de modo que el tamaño total de la muestra se obtiene sumando los elementos muestreados en cada estrato. Existen varios criterios para asignar el tamaño total de la muestra entre estratos, siendo los más comunes los siguientes:

• Uniforme: mismo tamaño de muestra en cualquier estrato
• Proporcional: proporción de miembros de la muestra igual a la proporción de miembros de la población en cada estrato
• Óptimo: proporcional al tamaño y heterogeneidad (varianza) en cada estrato

En las mismas condiciones y con los mismos requisitos de precisión y confianza, podemos afirmar que, en términos generales, el muestreo estratificado requiere un tamaño de muestra más pequeño que el muestreo simple, pero las cuestiones relacionadas con el cálculo de tamaños de muestra se detallarán en el siguiente punto.

La regla de oro en términos de relacionar el tamaño de la muestra con la precisión de nuestras estimaciones es que cuanto mayor sea el tamaño – resto constante-, menor será el margen de error. Sin embargo, generar datos estadísticos, incluso si es en forma de muestra, puede ser costoso y, a veces, no tenemos recursos para tener muestras grandes. Como consecuencia, existe una solución de compromiso que establece el tamaño de muestra óptimo (mínimo) que necesitamos, dados nuestros requisitos en términos de precisión (margen de error) y confianza de nuestras estimaciones, y la heterogeneidad (varianza) de la variable de interés en la población.

Regla: cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, más precisa será la estimación

En este punto se detallan las fórmulas para el cálculo de tamaños (óptimos) de muestra en el caso de muestreo estratificado. En aras de la sencillez y claridad, nos centraremos únicamente en el caso de estimar una media poblacional, y ofreceremos las dos soluciones más habituales, que corresponden a los casos de asignación por criterio proporcional (1) y criterio óptimo (2):

Como se ha comentado anteriormente, en ambos casos la fórmula corresponde a la estimación de la media poblacional para una variable continua con un muestreo estratificado sin reposición. En estas expresiones N_j representa el tamaño del estrato j y σ_j² la varianza de la variable en este mismo estrato.
De manera similar a las soluciones detalladas para el muestreo aleatorio simple, podemos ilustrar cómo se calculan los tamaños de muestra óptimos en el muestreo estratificado presentando un ejemplo práctico aplicando el lenguaje R.

Supongamos que una organización benéfica está realizando una encuesta por muestreo para estudiar las donaciones anuales realizadas por sus miembros, que se clasifican en tres grupos diferentes según su edad con 100, 700 y 200 miembros cada uno. A partir de un estudio piloto, esta organización benéfica sabe que las respectivas desviaciones estándar (σ_j) en las donaciones anuales en cada grupo son 6€, 30€ y 12€. Queremos encontrar el tamaño de muestra mínimo necesario para estimar la donación media anual, estableciendo un margen de error de 2€ y un nivel de confianza del 95%.

Con la función " stratasize " incluida en el paquete " sampleingbook " de R, podremos calcular el tamaño (óptimo) de la muestra y las soluciones para el caso de una asignación bajo el criterio proporcional y bajo el criterio óptimo,:

Las soluciones respectivas son 390 y 339 unidades, como se detalla a continuación:

Finalmente, podemos preguntarnos cómo se asignarán estos dos tamaños de muestra entre los estratos. Esto se puede hacer con la función " stratasamp " de este mismo paquete:

Siendo las soluciones: